Exercise 1.3

Solution:

(i) A + $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

= A + $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} \right]+~\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} -1+1 & 2+1 \\ 2+1 & 1+1 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 0 & 3 \\ 3 & 2 \\ \end{matrix} \right]$

So

A + $~\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]=~\left[ \begin{matrix} 0 & 3 \\ 3 & 2 \\ \end{matrix} \right]$

 

(ii) B + $\left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ \end{matrix} \right]$ + $\left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 1+\left( -2 \right) \\ \left( -1 \right)+3 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right]$

So

B + $\left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ \end{matrix} \right]=~\left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right]$

 

(iii) C + $\left[ \begin{matrix} -2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ \end{matrix} \right]$ + $\left[ \begin{matrix} -2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 1+\left( -2 \right) & -1+1 & 2+3 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 5 \\ \end{matrix} \right]$

So

C + $\left[ \begin{matrix} -2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]$ = $\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 5 \\ \end{matrix} \right]$

 

(iv) D + $\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right]~+~\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 1+0 & 2+1 & 3+0 \\ -1+2 & 0+0 & 2+1 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \\ \end{matrix} \right]$

So

D + $\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]=~$ $\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \\ \end{matrix} \right]$

 

(v) $2$A

= $2 \times \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 2~\times \left( -1 \right) & 2~\times 2 \\ 2\times 2 & 2\times 1 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} -2 & 4 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right]$

So

$2$A = $\left[ \begin{matrix} -2 & 4 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right]$

 

(vi) $(-1)$B

= $(-1) \times \left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} \left( -1 \right)\times 1 \\ \left( -1 \right)\times -1 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$

So

$(-1)$B = $\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$

 

(vii) $(-2)$C

= $(-2) \times \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \left( -2 \right)\times \begin{matrix} 1 & \left( -2 \right)\times -1 & \left( -2 \right)\times 2 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} -2 & 2 & -4 \\ \end{matrix} \right]$

So

$(-2)$C = $\left[ \begin{matrix} -2 & 2 & -4 \\ \end{matrix} \right]$

 

(viii) $3$D

= $3 \times \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 3\times 1 & 3\times 2 & 3\times 3 \\ 3\times -1 & 3\times 0 & 3\times 2 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 3 & 6 & 9 \\ -3 & 0 & 6 \\ \end{matrix} \right]$

So

$3$D = $\left[ \begin{matrix} 3 & 6 & 9 \\ -3 & 0 & 6 \\ \end{matrix} \right]$

 

(ix) $3$C

= $3 \times \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ 3\times \begin{matrix} 1 & 3\times -1 & 3\times 2 \\ \end{matrix} \right]$

= $\left[ \begin{matrix} 3 & -3 & 6 \\ \end{matrix} \right]$

So

$3$C = $\left[ \begin{matrix} 3 & -3 & 6 \\ \end{matrix} \right]$